尺规作图

作者：Ken Brakke

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基础作图：

1. 作给定线段的垂直平分线。
2. 过给定直线上方一点作该直线的垂线。
3. 在给定直线上的给定点处作直角。
4. 以给定线段为边作正方形。
5. 以给定线段为边作等边三角形。
6. 以给定线段为边作正六边形。
7. 将给定角复制到给定线段上。
8. 过给定直线外一点作该直线的平行线。
9. 将给定线段等分为 N 段。
10. 作给定角的角平分线。
11. 以给定线段为基础构造 30 度角。
12. 求过三个给定点的圆的圆心。
13. 求给定三角形的外接圆。
14. 求给定三角形的内切圆。
15. 以给定的两条边长构造矩形。
16. 在给定线段上构造与给定三角形相似的三角形。
17. 已知线段 QR 上一点 P，求线段 AB 上按同比例分割的点 C。
18A. 作给定三角形的三条中线。
18B. 作给定三角形的三条高线。
19. 构造黄金矩形。
20. 构造面积为给定正方形两倍的正方形。
21. 构造面积为给定圆两倍的圆。
22. 作与给定直线平行且距离为给定值的直线。
23. 构造给定半径的圆，使其与过一点的两条直线相切。
24. 构造与给定矩形面积相等的正方形。
25. 已知直线一侧一点，求其关于该直线的镜像点。
26. 已知直线同侧两点，求从一点出发经直线反射到达另一点的光线路径。
27. 已知圆外一点，求过该点与圆相切的两条切线。
28. 已知两个圆，构造给定半径的圆使其与这两个圆相切。
29. 作两条给定平行线的中位线。

以下是更有挑战性的作图题。这些题目可能使用复合作图步骤，而非单一的尺规操作。
下面的许多切线问题使用了点关于圆的反演变换，即将一个点映射到同一射线上的另一个点， 但半径取倒数（以圆的半径为单位）。反演具有这样的有用性质： 圆映射为圆，过原点的圆映射为直线。反演变换本身的作图过程可在 此处查看。这里选择的特定作图方法 无论点在圆内还是圆外都适用。
30. 已知四个任意点，构造一个正方形，使其每条边的延长线各经过一个给定点。
31A. 已知两个圆，构造它们的外公切线。
31B. 已知两个圆，构造它们的内公切线。
32. 已知两条平行线和一个圆，构造与三者都相切的圆。
33. 已知一个角和一个圆心在角平分线上的圆，构造与角的两边和该圆都相切的圆。
34. 已知一个角和角内部一点，构造与角的两边相切且过该点的圆。
35. 已知一个角和一个任意圆，构造与该圆和角的两边都相切的圆。
36. 已知一条直线和直线同侧两点，构造过这两点且与直线相切的圆。
37. 已知一条直线、一个圆和一个点，构造过该点且与直线和圆都相切的圆。
38. 已知一条直线和两个圆，构造与三者都相切的圆。
39. 已知三个任意圆，构造与三者都相切的圆。（阿波罗尼奥斯问题）
40. 构造正五边形。（高斯-万策尔定理：正 N 边形可尺规作图当且仅当 N 的素因子 是 2, 3, 5, 17, 257, 65537, … 中互不相同的费马素数。）
41. 构造正十七边形。
42. 构造正 257 边形和正 65537 边形。